פרדוקסים

איזו קבוצה גדולה יותר, הקבוצה של "כל המספרים השלמים", או הקבוצה של "כל המספרים השלמים הזוגיים"?

[התשובה אינה פשוטה כפי שנדמה. מצד אחד, לכאורה ברור שקבוצת "כל המספרים" גדולה יותר, ומצד שני- הקבוצות שוות בגודלן, שהרי בשתי הקבוצות, גם בקבוצת "כל המספרים" וגם בקבוצת "כל המספרים הזוגיים", יש כמות של אין-סוף מספרים. אם גם כאן וגם כאן יש אין-סוף, נמצא שהקבוצות שוות!]

[חוסר היכולת שלנו למצוא תשובה פשוטה לשאלה זו, מראה שאין אנו מבינים עד הסוף את מושג האין-סוף].


איזו קבוצה גדולה יותר, קבוצת "כל המספרים הגדולים מעשרים", או קבוצת "כל המספרים הגדולים מעשר"?

[מצד אחד, לכאורה ברור שהקבוצה השניה גדולה יותר בעשרה מספרים. מאידך, שתי הקבוצות שוות בגודלן, שהרי גם בזו וגם בזו יש אין סוף מספרים].


הפילוסוף היווני הקדום פרותגורס, לימד אדם בשם איאתולוס את מקצוע המשפטים. מאחר שלא היה לו כסף לשכר לימוד, הם סיכמו כי איאתולוס יהיה פטור מלשלם, וחובת התשלום תחול עליו רק לאחר שינצח במשפט הראשון שלו. הבעייה הייתה, שלאחר שסיים את לימודי המשפטים, הוא פשוט לא הופיע באף משפט אלא פנה לו למקצוע אחר, וכך לא שילם (שהרי על פי התנאי אין חובת תשלום עד שיופיע וינצח). פרותגורס הזועם פנה לבית המשפט.

כשהגיעו הצדדים לבית המשפט, אמר פרותגורס לשופטים- אם אנצח במשפט זה, עליי לקבל את התשלום, כי כך פסק בית המשפט. ואם איאתלוס ינצח, גם אז עליי לקבל את התשלום, שהרי על פי התנאי בינינו, עליו לשלם לי כשהוא מנצח את המשפט הראשון. ממילא, התשלום מגיע לי בכל מקרה.

קם איאתלוס ואמר, בדיוק להיפך! בכל מקרה אינני צריך לשלם: אם אפסיד במשפט, אינני צריך לשלם, שהרי התנאי הוא שלא אשלם עד שאנצח. ואם אנצח במשפט ובית המשפט יפסוק שאיני צריך לשלם, גם אז איני צריך לשלם, כי כך קבע בית המשפט! לכן, בכל מקרה אינני צריך לשלם.

[זה נראה פרדוקס בלתי פתור, אך במבט מעמיק, טענתו של איאתלוס אינה מחזיקה מים. שהרי אם ינצח פרותגורס במשפט, ודאי שיהיה על איאתולוס לשלם, כי משמעותו של ניצחון כזה היא שבית המשפט קובע שאין לאיאתלוס רשות לנצל את התנאי ביניהם באופן שבו הוא נוהג. הרי על זה נסוב המשפט מלכתחילה].


מהירות האור ידועה. מהי מהירות החושך.
"במשפת זה ישנן 3 תעויות". כמה טעויות יש במשפט זה.
ישנו כלל האומר, "לכל כלל יש יוצא מן הכלל". האם גם לכלל הזה יש יוצא מן הכלל?
האם "היינו הך" ו"אותו דבר" הם אותו דבר, או שמא הם היינו הך?
מה היה קורה אילו לא היו תשובות לשאלות היפותטיות?
מדוע המינמליסטים אינם מוצאים לעצמם שם קצר יותר?
אם הכלה לובשת לבן כדי לסמל טוהר ושמחה, מדוע החתן לובש שחור?
אם הקור בחוץ הוא אפס מעלות, ומחר יהיה קר פי שניים, כמה מעלות יהיו מחר?
כשנמס השלג, לאן נעלם הלבן?
אחד מחוקי מרפי אומר שבכל פעם שתנסה לבחון חוק מרפי, הוא לא יעבוד. האם חוק זה יעבוד כשתנסה אותו?
האם נכונה המחשבה, שעצם המחשבה גורמת לנו לחשוב יותר ממה שאנו חושבים שזה גורם לנו לחשוב?
מה גרוע יותר, להיות גזען, או לשנוא את כולם באותה מידה?
האם לרעיון המסע בזמן יש עתיד?
העורבים נשמעו כקוראים בשמו, חשב לעצמו מר קע (הנדי).


הדילמה הבאה ידועה בשם "דילמת האסיר":

שני אנשים, א` וב`, נתפסים בידי המשטרה. החשד הוא שהם ביצעו בצוותא עבירה קלה, שעונשה שנת מאסר, ועבירה חמורה שעונשה חמש שנים. באשר לעבירה הקלה, יש למשטרה די ראיות, ואילו באשר לעבירה החמורה, אין למשטרה ראיות והיא מעוניינת שאחד מהם לפחות יודה ויסגיר את שניהם, אך הם מסרבים. פונה אחד השוטרים אל א`, ומציע לו עסקה שתנאיה כדלהלן: אם תמשיכו לשתוק שניכם, כל אחד מכם ירצה שנה בכלא, בגין העבירה הקלה, עליה יש ראיות. אם אחד מכם ידבר (ויסגיר את השניים) בעוד שחבירו ישתוק, המדבר ישוחרר לגמרי והשותק ירצה 5 שנים. אם תדברו שניכם, כל אחד ירצה 3 שנים. בדיוק את אותם תנאי עסקה, מציעה המשטרה גם לב`, וא` יודע זאת.

כעת, נמצא א` בדילמה בלתי פתורה: מצד אחד, ודאי עדיף שידבר, שהרי ממה נפשך- אם בתא הסמוך ב` ידבר, אוי לו לא` אם ישתוק (שהרי שתיקה תביא אותו למאסר 5 שנים); ואם ב` ישתוק, גם אז עדיף לא` לדבר, שהרי מצב שבו א` מדבר וב` שותק, מוציא את א` לחופשי. מצד שני, ב` יעשה גם הוא את אותו חשבון, וכך שניהם ידברו, וכל אחד ירצה שלוש שנים! זוהי תוצאה אבסורדית שאינה כדאית לשניהם, שהרי אם שניהם היו שותקים, כל אחד היה מרצה רק שנה אחת!


שאלת הרולטה: אדם משחק במשחק הרולטה הנפוץ בבתי הימורים. כללי המשחק פשוטים- הוא שם סכום כסף, ומסובב את הרולטה. אם היא נעצרת על צבע אדום, הוא מפסיד את הכסף שאותו שם, לטובת בית ההימורים. אם היא נעצרת על הצבע השחור, הוא מכפיל את כספו. נהוג שסיכויי הרווח שווים, או כמעט שווים, לסיכויי ההפסד.

כעת, טוען אדם אחד, שיש לו שיטת פלאים שבאמצעותה אין סיכוי שייצא מבית ההימורים בהפסד. הכיצד? בכל פעם הוא יהמר על סכום כסף, בשיעור שהוא כפול מהסכום שעליו הימר בהימור הקודם, וכך, לטווח ארוך, אין סיכוי שיפסיד!. למשל, בתחילה יהמר על סכום של 10. אם ירוויח, מה טוב. אם יפסיד, הוא יהמר בפעם הבאה על סכום של 20. אם ירוויח, נמצא שהוא גרף עשרים והוא בעודף של 10 (שהרי קודם הפסיד 10). אם יפסיד (ויהיה ע"י כך בגירעון 30), יהמר בפעם הבאה על סכום של 40. אם ירוויח, נמצא שגרף 40 והוא כעת בעודף של 10 (שהרי עד עתה הפסיד 30 וכעת הרוויח 40). אם יפסיד (ויהיה ע"י כך בגירעון 70), יהמר בפעם הבאה על סכום של 80. אם ירוויח, נמצא שגרף 80 והוא כעת בעודף של 10 (ה-80 שגרף כעת פחות ה-70 שהפסיד עד עכשיו). וכך הלאה. נמצא, אם כן, שאדם הפועל בצורה כזו, לא ייצא לעולם מופסד אא"כ איתרע מזלו ויפסיד בכל נסיונותיו, דבר שאין סיכוי קלוש שיקרה (שהרי אף אחד אינו מפסיד בכל נסיונותיו). כיצד זה איש אינו מנצל שיטה פשוטה זו?!


נניח שבמקום מסוים גרים שני שבטים, האחד הוא שבט ה"נכוחים", והשני, שבט ה"מהפכים". אנשי שבט הנכוחים מתאפיינים בשתי תכונות: א) הם רואים היטב את המציאות. ב) הם אינם משקרים. לעומתם, אנשי ה"מהפכים", מתאפיינים בשתי תכונות הפוכות: א) הם רואים את המציאות הפוך. ב) הם תמיד משקרים. כך, למשל, אם נשאל את אנשי הנכוחים ואת אנשי המהפכים מה צבע השלג, שניהם יענו "לבן": הנכוחים יענו כך משום שאכן ראו לבן והם אומרים אמת, והמהפכים יענו כך מפני שהם רואים אמנם שחור אך עונים לבן מתוך שקר. כעת, לפניך עומד אדם, שאינך יודע מאיזה שבט הוא. איזו שאלה תוכל לשאול אותו, כדי לדעת האם הוא משבט הנכוחים או משבט המהפכים.

[תשובה: השאלה שיש לשאול אותו היא... "מאיזה שבט אתה". אם הוא משבט הנכוחים, הוא יענה "משבט הנכוחים". אם הוא מהמהפכים, הוא יענה "מהמהפכים" (שהרי הוא חושב שהוא מהנכוחים אך מתוך הנטיה לשקר הוא עונה להיפך ממחשבתו). כיצד ייתכן באמת שלכל שאלה הם עונים בצורה זהה (כדוגמת שאלת השלג לעיל), ודווקא על שאלה זו שניהם עונים בצורה שונה?].


הפרדוקסים של זנון:

זנון, מתקופתו של הפילוסוף פרמנידס, הצביע על הפרדוקסים הבאים (פרדוקס= הנחה שמצד אחד ברור שאינה נכונה, ומאידך ניתן להוכיח כי היא נכונה בלי שניתן יהיה לסתור את ההוכחה):

א. פרדוקס אכילס והצב: צב אחד ניסה כוחו בתחרות נגד אכילס, האצן המהיר. באדיבותו, נותן אכילס לצב מקדמה של 100 מטרים, והם מתחילים לרוץ. ניתן להוכיח, מתמטית, שאכילס לעולם לא ישיג את הצב. ההוכחה היא כדלהלן:

נניח שמהירותו של אכילס היא פי עשרה משל הצב. כשאכילס סוגר את 100 המטרים המפרידים בינו לצב בתחילה, מספיק הצב בינתיים לעבור עשרה מטרים, ונמצא שהוא מקדים את אכילס עדיין בעשרה מטרים. כשאכילס סוגר את עשרת המטרים הנ"ל, מספיק הצב בינתיים לעבור מטר, ונמצא שהוא מקדים את אכילס עדיין במטר. כשסוגר אכילס את המטר הנ"ל, מספיק הצב בינתיים לעבור עשירית מטר, ונמצא מקדים את אכילס עדיין בעשירית מטר. כשסוגר אכילס את העשירית הנ"ל, עובר הצב בינתיים מאית מטר ומשיג את אכילס במאית מטר, וכך לעולם יימצא הצב משיג את אכילס, שהרי בכל פעם שיצליח אכילס לסגור את הפער ביניהם, באותו זמן יספיק הצב לעבור עוד מרחק כלשהו, קטן ככל שיהיה.

ב. "פרדוקס הדיכוטומיה": אדם עומד במרחק מסוים מנקודה מסוימת, והוא מתחיל ללכת כדי להגיע אליה. ניתן להוכיח שלעולם לא יצליח להגיע אליה. שכן, בכל פעם שיעבור חלק מן המרחק שנשאר לו, תמיד יישאר לו עוד חלק, וכך לעולם. כך, למשל, אם בתחילה המרחק הוא 100 מטר, לאחר שעבר 50 נשארו עוד 50. יעבור עוד 25, יישארו עוד 25. יעבור עוד 12.5, יישארו עוד 12.5. יעבור עוד 6.25, יישארו עוד 6.25, וכך לעולם, כל פעם שיעבור חלק מהמרחק שנשאר לו, יישאר עוד חלק שעליו לעבור.

ג. פרדוקס החץ: כנגד שני הפרדוקסים הקודמים, היו שטענו כי אי אפשר לחלק ולחלק עד אין סוף, ובסופו של דבר קיימת נקודה שהיא קטנה כל כך, עד שאין היא ניתנת לחלוקה. מקשה זנון, אם כך, קיימת גם יחידת זמן שהיא קטנה כל כך עד שאינה ניתנת לחלוקה. והנה, ביחידת זמן כזו, אין ספק ששום חפץ או אדם אינו יכול לזוז ממקום למקום (שהרי "לזוז" פירושו להיות קודם כאן ואחר כך כאן, וביחידת זמן קטנה כל כך אין "קודם" ו"אחר כך"). [במילים אחרות, בכל יחידת זמן כזו, כל חפץ או אדם הוא במצב נח]. וכאן, המצב חמור, שהרי אם ביחידת זמן קטנה כזו אין שום חפץ יכול לזוז ממקומו, והוא "נח", אזי גם בפרק זמן ארוך יותר הוא לא יוכל לזוז, שהרי מה הוא פרק זמן ארוך אם לא צירוף של יחידות זמן קטנות כנ"ל, שבאף אחת מהן לא מתאפשרת תנועה (פרדוקס זה נקרא פרדוקס החץ, כי מטרתו המקורית הייתה להראות שחץ אינו יכול לזוז ממקומו, בניגוד למה שנראה לנו. אך כמובן אין הכרח להתייחס דווקא לחץ).


פרדוקס המעטפות: נותנים לאדם לבחור אם רצונו לקחת את מעטפה א` או מעטפה ב`. הוא יודע שבאחת מהן (אך אינו יודע איזו), יש סכום כסף כפול מזו שבשניה. הוא מהמר ובוחר במעטפה אחת, למשל במעטפה א`, ומגלה בה 100 שקלים. כעת ניתנת לו ההזדמנות לשנות את בחירתו ולהחליף למעטפה ב` (שייתכן ויהיו בה 50 וייתכן ויהיו בה 200). האם כדאי לו להחליף? ניתן להוכיח שאכן כדאי לו! שהרי הסיכון בהחלפה זו הוא הפסד אפשרי של 50 שקלים, ואילו הסיכוי הוא רווח אפשרי של 100 שקלים. הימור שבו הסיכוי הוא 100 והסיכון הוא 50, מוגדר לכל הדעות כהימור משתלם! מאידך, ברור שמדובר באבסורד, שהרי לא ייתכן שהכדאיות לבחור במעטפה ב` תגדל לפתע רק משום שמעטפה א` נפתחה כבר (הרי אם א` לא הייתה נפתחת, הכדאיות לא` ולב` היא כדאיות שווה).


פרדוקס בוחן הפתע: מורה מודיע לכיתתו שבשבוע הבא יערוך להם בוחן פתע, קרי- בלילה שלפני יום הבוחן, לא יידעו התלמידים שלמחרת יתקיים בוחן. עושים התלמידים את החשבון הבא: הבוחן ודאי לא יוכל להתקיים ביום שישי, שהרי אם הוא יידחה עד יום שישי, אזי בלילה שלפני יום שישי כבר נדע שיהיה בו בוחן, ואין זה בוחן פתע. והנה, גם ביום חמישי לא יכול הבוחן להתקיים, שהרי אם יידחה הבוחן עד יום חמישי, נמצא שבלילה שלפניו כבר נדע שיהיה למחרת בוחן (שהרי בשישי כבר הוכחנו שאי אפשר לעשות את הבוחן). צא וחשב, שאת אותו חשבון ניתן לערוך לגבי כל יום בימות השבוע, עד שלא ניתן לערוך את בוחן הפתע באף יום. מאידך, ברור שמשהו פגום בהוכחה, שהרי בסופו של דבר אם יודיע המורה ביום שי, למשל, על בוחן, כן יהיו כולם מופתעים.

העמקת הפרדוקס: הוכחנו שהבוחן אינו יכול להתקיים באף יום בשבוע. תלמיד אחד הסביר זאת לשאר הכיתה, וכולם הלכו לביתם שמחים וטובי לב, אך מה הופתעו כאשר ביום ג` הם נדרשו להוציא מחברות.


פרדוקס זה ידוע בשם "השקרן מכרתים": אדם בא ואומר "אני תמיד משקר". האם עלינו להאמין למשפט זה שלו?


אדם המשתוקק לגנוב, האם לא עדיף שיגנוב ויעבור פעם אחת על לא תגנוב מאשר עשר פעמים על לא תחמוד?


הספר של הגדוד (שהוא גם חייל בעצמו) קיבל הוראות ברורות מהצבא: א) מי שאינו מסתפר בעצמו, עליך לספר אותו. ב) מי שמסתפר בעצמו, אסור לך לספר אותו. לחרדתו, מוצא הספר את עצמו בפני דילמה, האם לספר את עצמו: אם יספר את עצמו, נמצא שהוא עובר על ההוראה השניה, שהרי הוא מספר אדם המסתפר בעצמו. אם לא יספר את עצמו, יעבור על ההוראה הראשונה. מה יעשה?


מה יקרה אם כוח שאין לעמוד בפניו מתנגש בדבר שאין להזיזו?

[הפתרון- מצב כזה לא ייתכן. אם יש כוח שא"א לעמוד בפניו, ממילא אין בנמצא דבר שאין להזיזו. מאת- א.קופי, מבוא ללוגיקה]


בילדותו, קיבל ר` יהונתן אייבשיץ סטירה מילד אחד. מיד החזיר לו שתים. גער בו גבאי בית הכנסת- סטירה אחת שהחזרת לו, ניחא, מידה כנגד מידה היא. אך מדוע השניה? ענה ר` יהונתן- החשבון אינו נכון! אילו הייתי מחזיר לו אחת, לא היה זה מידה כנגד מידה, שכן הוא נתן לי אחת מעבר למגיע לי, ואני נותן לו רק את מה שמגיע לו. רק כעת, שאני נותן שתים, נמצא שכל אחד נתן אחת מעבר למגיע, וזוהי מידה כנגד מידה. האם הצדק עם הגבאי או עם הילד?

[הערה- טענת הילד היא שנונה ביותר, אך מעבר למוזרות שהשומע מרגיש בה מיד, היא מתבססת על הטעיה לוגית ברורה..].


אני לא שונא אותו, להיפך, אני כן שונא אותו (ד. גליקמן).


"זו לא אשליה אופטית, היא רק נראית כזו".


פרדוקס התפוחים: שתי נשים מוכרות תפוחים, האחת מוכרת סל של שני תפוחים בפרוטה, והשניה- סל של שלושה תפוחים בשתי פרוטות. לכל אחת מהן שלושים תפוחים. יום אחד החליטו השתים לעשות שותפות בשישים התפוחים באופן הבא: במקום שכל אחת תמכור שלושים תפוחים כמתואר לעיל, הן ימכרו ביחד את כל שישים התפוחים, באותו מחיר, באופן הבא: אם עד עכשיו מכרה אשה א` סל של שני תפוחים בפרוטה והשניה שלושה בשתי פרוטות (וכך חמישה תפוחים עלו יחד שלוש פרוטות), מעתה הן ימכרו סלים גדולים של חמישה תפוחים, כל סל בשלוש פרוטות. מבחינת הקונה, אין הבדל לכאורה: כשם שאחרי האיחוד הוא משלם על חמישה תפוחים שלוש פרוטות, כך גם קודם, אם היה קונה חמישה, שתים מזו ושלוש מזו, היה משלם שלוש פרוטות.


והנה, כשמכרו את כל שישים התפוחים, כל סל של חמישה תפוחים בשלוש פרוטות כנ"ל, הן גילו שיש בידן שלושים ושש פרוטות (שלוש פרוטות כפול שנים עשר סלים של חמישה). לעומת זאת, אילו לא היו מתאחדות, הייתה הראשונה מרוויחה 15 פרוטות והשניה 20 פרוטות, יחד 35 פרוטות. איך ייתכן שעל ידי האיחוד, שלכאורה לא שינה דבר מבחינת המחיר, נוספה פרוטה?


הגברת הפרדוקס: בקצה אחר של הרחוב עומדות שתי רוכלות אחרות- אחת מוכרת סל של שני תפוחים בפרוטה, והשניה- סל של שלושה תפוחים בפרוטה. לכל אחת שלושים תפוחים. גם הן החליטו לעשות שותפות, ואיחדו את סליהן באופן המתואר לעיל (כך שכל סל של חמישה נמכר למעשה בשתי פרוטות), ולפתע גילו, שהפסידו מהאיחוד! לפני האיחוד, הרווח המצטבר משתיהן היה עשרים וחמש פרוטות, ואחרי האיחוד האמור- 24 פרוטות. איך ייתכן?

לפתרון הפרדוקס ראה: http://alefefes.macam.ac.il/paradox/paradox.asp?n=5


אתר המגלה את מחשבותיך!!
http://stwww.weizmann.ac.il/manor/hachiva_kamutit/game.html


את הפרדוקס להלן נהג הפרופ` קרדוזו להציג בהרצאותיו: נניח שנשאל אנשי מדינה מסוימת, האם הם מעוניינים במשטר שישפר את חייהם לאין ערוך, אך במסגרת משטר זה ייהרגו בכל שנה אלפיים איש (בבחירה מקרית). האם היו מסכימים? ודאי שלא. אך לאור זאת נשאלת השאלה, כיצד אנשים מקבלים בשמחה את קיומה של המכונית, המשפרת את איכות החיים לאין ערוך אך גובה בכל שנה, ללא חריגים, מאות ואלפי הרוגים?


הפרדוקס הבא מכונה "פרדוקס הערימה", והוא הוצג לראשונה על ידי יובוליטס ממילטוס, בן זמנו של אריסטו: לפנינו ערימת חול. האם על ידי הוצאת גרגר חול בודד מתוך הערימה, הערימה תחדל מלהיות (או להיקרא) "ערימה"? לכאורה, ודאי שלא. הוצאת גרגר אחד אינה הופכת את הערימה ל"לא ערמה". נשאלת השאלה, אם כן, כיצד זה שאם נתמיד ונוציא גרגר אחר גרגר מתוך הערמה, בסופו של דבר נישאר בלי "ערימה"? פרדוקס זה מכונה לעיתים פרדוקס הקירח (האם נשירת שערה אחת הופכת אדם מ"בעל שיער לקירח"? ודאי שלא. וכו` וכו`).


הפרדוקס הבא הוצג לראשונה על ידי המפל (Hemple) ונקרא "פרדוקס העורבים". על פי הפרדוקס יוצא לבסוף, שכאשר אנו רואים ממחטה לבנה, מתחזקת הטענה ש"כל העורבים שחורים":
א) מבחינה לוגית, הטענה כי "כל עורב הוא שחור", שקולה לטענה כי "כל דבר שאינו שחור אינו עורב" (זאת על פי כלל לוגי ידוע, לפיו הטענה שכל א` הוא ב`, שקולה לטענה שכל דבר שאינו ב` גם אינו א`).
ב) אין חולק, כי האמונה בכך ש"כל העורבים שחורים" מתחזקת עם כל עורב שחור נוסף שאנו רואים (נכון, אמנם, שאמונה זו לא מוכחת במאה אחוז גם אם רואים עורבים שחורים רבים, אך כל אדם יסכים שאמונה זו "מתחזקת" ככל שרואים יותר עורבים שחורים, והיא מתחזקת עם כל עורב שחור נוסף). אין חולק גם, כי באותו אופן בדיוק, האמונה כי "כל דבר שאינו שחור אינו עורב", מתחזקת עם ראיית כל דבר נוסף שאינו שחור ואינו עורב, כגון ראיית ממחטה לבנה.
ג) והנה, היות והטענות שקולות, צריך היה להיות, שכל דבר שיש בו כדי לחזק את אחת מהטענות הנ"ל, יחזק גם את השניה. לפי זה, כל חפץ בלתי שחור שאנו רואים, כגון ממחטה לבנה, מחזק את האמונה בכך שכל עורב הוא שחור (שהרי כבר הראינו שהוא מחזק את האמונה בכך שכל שאינו שחור אינו עורב).

"פרדוקס המסתנן" של המלומד Cohen: נניח שבאיצטדיון מסוים נמכרו 499 כרטיסים, ואילו בפועל נכחו בשעת האירוע 1000 אנשים (כלומר ברור לנו שיש 501 מסתננים שהגיעו ללא כרטיס). על פי כללי ההסתברות, כאשר אנו מסופקים ביחס לאדם מסוים באיצטדון, לאחר מעשה, אם הוא שילם או לא (ואין לנו כל ראיה לכאן או לכאן), ההסתברות שהוא לא שילם עולה על ההסתברות שהוא שילם (שהרי כאמור, הרוב לא שילמו!). מכאן, שאם בעל האצטדיון תופס לאחר מעשה אדם מסוים שנכח באצטדיון, ותובע ממנו לשלם בטענה שהוא הסתנן, ואילו הנתבע מתגונן ואומר "שילמתי", ואין לנו ראיות לכאן או לכאן, אזי התובע יזכה בתביעתו, שכן כאמור יש הסתברות של מעל 50% שהוא הסתנן [וכמקובל ברוב שיטות המשפט, די שהתובע יוכיח הסתברות לטובתו בשיעור של מעל 50% (כל עוד לא מדובר במשפט פלילי, שאז יש להוכיח "מעל לכל ספק סביר")]. הדבר נוגד לכאורה את חוש הצדק.

ישנן תשובות שונות לפרדוקס זה, עיין במאמרו של רון שפירא, "המודל ההסתברותי של דיני הראיות", עיוני משפט כ, עמ` 167 ואילך.


פרדוקס השקרן מכרתים: אדם בא מהאי כרתים ומדווח שכל אנשי כרתים שקרנים. האם להאמין לו?


פרדוקס ניוקום (NEWCOMB): אדם ניצב מול שתי קופסאות, האחת שקופה והשנייה אטומה. בשקופה ניתן לראות סך של אלף ש"ח. עליו להחליט אם לקחת את הקופסה האטומה בלבד, או את שתי הקופסאות. כעת ניתנת לו האינפורמציה הבאה: א) באטומה יש כבר סכום כסף, שהונח על-ידי מישהו היודע לנבא את מעשיו. ב) אותו נביא, בהניחו את הכסף, מונחה על פי השיקולים הבאים: אצל מי שיקח את האטומה בלבד, מניח הנביא באטומה מיליון ש"ח, ואילו אצל מי שהנביא יודע שיקח את שתי הקופסאות, הוא מניח באטומה 100 ש"ח. על האדם שעומד מול שתי הקופסאות להחליט, כאמור, אם לקחת את האטומה בלבד או את שתי הקופסאות. לכאורה, עדיף שיקח רק את האטומה, שכן על פי האינפורמציה לעיל במקרה כזה הוא יזכה במיליון ש"ח. מצד שני, הבחירה שלו לא תשנה את סכום הכסף שבאטומה, הכסף כבר נמצא שם וסכומו קבוע. ואם כן, עדיף לקחת את שתי הקופסאות.


אף אדם לא יבחר בלוטו את המספרים 1,2,3,4,5,6. למה?! הרי מבחינה הסתברותית, הסיכוי שמספרים אלה יעלו בגורל, שווה בדיוק לסיכוי של מספרים אחרים לעלות בגורל!


אם יספר לנו אדם, שהוא הטיל קוביה 100 פעם, ונוצרה סדרה של 6,6,6,6,6... (כלומר בכל הפעמים היא נפלה על שש), נחשוב את הדבר לנס גמור (או לשקר). לעומת זאת אם יספר שנוצרה סדרה 2,3,5,6,3,2 וכו` (או שיספר על סדרה סטנדרטית אחרת), לא נבין מהו החידוש שבדבר ולשם מה הוא מספר זאת. לכאורה הדבר אינו מובן: הרי למי שמכיר את כללי ההסתברות המתמטית, הסתברות ליצירת הסדרה הראשונה היא שישית בחזקת מאה וההסתברות ליצירת הסדרה השניה גם היא שישית בחזקת מאה!


הצגת השאלה הקודמת בדרך שתובן גם למי שאינו בקי בכללי ההסתברות: כשאדם זורק קוביה מאה פעם, בכל הטלה בפני עצמה הסיכוי לקבל שש שווה בדיוק לסיכוי לקבל כל מספר אחר, בין אם מדובר בהטלה הראשונה, ובין אם מדובר בהטלה שלישית, רביעית, חמישית וכו`. ואפילו אם בכל ההטלות הקודמות התקבל שש, עדיין הסיכוי בהטלה הספציפית אינו משתנה (כלומר נשמר שוויון הסיכויים בין שש לבין מספר אחר), שהרי "לגורל אין זכרון". ואם הסיכוי בכל הטלה בפני עצמה הוא שווה, נמצא שמתמטית הסיכוי לקבל שש בכל ההטלות שווה בדיוק לסיכוי לקבל מספרים שונים בכל ההטלות.

לכל מי ששיחק במשחק הידוע "איקס עיגול", ברור הדבר, שאם השחקנים במשחק זה אינם מבצעים טעות, המשחק ייגמר בתיקו. השאלה היא, מה לגבי השחמט? אם יישבו ללוח השחמט שני שחקנים מושלמים לגמרי, שאינם מסוגלים לטעות, מה יקרה?

התשובה האינטואיטיבית היא שהמשחק ייגמר בתיקו, אך זה כמובן אינו מוכרח: ייתכן שהשחמט מעצם טבעו בנוי כך, שהפותח תמיד מנצח (שוב, בהנחה ששני השחקנים מושלמים לגמרי, דבר שהוא תיאורטי), וייתכן גם להיפך, שזהו משחק שבו מעצם טבעו הפותח תמיד יפסיד.

החוקרים והעוסקים בשאלה זו טרם מצאו, איזו מבין שלוש התשובות שלעיל (תמיד הפותח ינצח, תמיד הפותח ינצח, תמיד ייגמר בתיקו) היא התשובה הנכונה. האם תיתכן אפשרות רביעית, ולפיה השחמט איננו משחק שמעצם טבעו מוביל לתוצאה אחת תמיד? "משפט צרמלו" שולל אפשרות כזו, ראו ערך בויקיפדיה.